II - Forme de l'arc-en-ciel
A) Trajectoire de la lumière dans la goutte d'eau
Nous savons maintenant que les gouttes d’eau présentes en suspension dans le ciel sont responsables de la décomposition de la lumière pour créer l’arc-en-ciel. Toutefois, cela n’explique pas sa forme. En effet, grâce à notre expérience, nous n’avons obtenu qu’une bande de couleurs et non un arc. Quelle peut être la cause de cette différence ? C’est peut-être la forme que prend l’eau dans le ciel, une gouttelette ronde. Pendant notre expérience, la lumière passe par une surface d’eau plate. Il faudrait donc étudier la trajectoire de la lumière dans une goutte d’eau. Pour cela, nous avons créé des modèles sur GeoGebra.
Nous allons maintenant étudier la trajectoire de la lumière dans la goutte d'eau d'un point de vue géométrique:
La figure ci-contre reprend les phénomènes expliqués précédemment. Le rayonnement solaire incident entre dans la goutte d’eau au point E avec un angle i et subit une réfraction d'angle τ. Ensuite, la lumière est réfléchie en R et est enfin réfracté de nouveau à sa sortie en S d'un angle τ. Soit D, l’angle de déviation finale du rayon après avoir subi cette trajectoire dans la goutte d’eau. Pour calculer D, nous supposerons que la goutte d’eau est parfaitement sphérique, de centre O, et qu’elle se trouve immobile en suspension dans l’air.
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Ce modèle GeoGebra interactif peut vous aider à mieux comprendre la trajectoire de la lumière dans la goutte d'eau:
Les deux phénomènes que subit la lumière pendant son trajet dans la goutte sont la décomposition des couleurs et la réfraction des lumières. Lors de son entrée dans la goutte, la lumière change de milieu (air/eau), elle est donc réfractée. De même, la lumière blanche se décompose grâce à la dispersion. Ensuite, la lumière est partiellement réfléchie lorsqu'elle rencontre la paroi de la goutte. L'autre partie de la lumière est réfractée à la sortie de la goutte, mais ce cas-là ne rentre pas en jeu dans la formation de l'arc-en-ciel. Enfin, la lumière réfléchie sort de la goutte d'eau en subissant une nouvelle réfraction. Nous pouvons donc comprendre pourquoi le soleil doit se trouver derrière le spectateur lors d'un arc-en-ciel. De plus, nous constatons que l'angle d'incidence de la lumière a un impact direct sur la direction du rayon lumineux qui sort de la goutte d'eau.
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B) Étude des rayonnements rouge et violet
Maintenant que nous connaissons la trajectoire de la lumière dans la goutte d'eau, nous pouvons y ajouter la décomposition de la lumière. Grâce à l'expression de la déviation finale, nous pouvons calculer D pour les couleurs que nous avons étudiées précédemment : le rouge et le violet. Nous admettons encore que l'angle d'incidence est de i = 60°.
On sait que D = 180 + 2i - 4α Soit D = 180 + 2 x 60 - 4 x 40,59 Donc D = 137,64°. |
On sait que D = 180 + 2i - 4α Soit D = 180 + 2 x 60 - 4 x 40,05 Donc D = 139,81°. |
De plus, nous remarquons sur la figure que les angles β et D sont supplémentaires, donc leur somme est égale à 180°.
On sait que β = 180 - D Donc β = 42,36°. En somme, la lumière rouge est réfléchie d'un angle de 42,36° par rapport aux rayons du soleil suite à son trajet dans la goutte. |
On sait que β = 180 - D Donc β = 40,19°. En somme, la lumière violette est réfléchie d'un angle de 40,19° par rapport aux rayons du soleil suite à son trajet dans la goutte. |
Nous constatons que l'angle β est plus important que l'angle β . Ceci explique pourquoi le rouge est vu à l'extérieur de l'arc-en-ciel alors que le violet est à l'intérieur.
De plus, ces calculs nous montrent que l'angle entre l’œil de l'observateur, la goutte d'eau et le soleil doit être compris entre 40,19° et 42,36° pour que l'on puisse voir l'arc-en-ciel.
De plus, ces calculs nous montrent que l'angle entre l’œil de l'observateur, la goutte d'eau et le soleil doit être compris entre 40,19° et 42,36° pour que l'on puisse voir l'arc-en-ciel.
Nous avons décidé de reproduire le trajet de la lumière dans la goutte d'eau en laboratoire. Pour cela, nous avons créé une expérience où la goutte d'eau est représentée par un ballon à fond rond rempli d'eau et nous avons pointé un faisceau de lumière vers celui-ci.
Expérience de la forme de l'arc-en-ciel
Matériel :
Protocole :
Observations :
Interprétation :
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Le modèle GeoGebra ci-dessous résume les calculs que nous avons fait et permet d'observer la différence des angles entre les différentes couleurs:
C) Cône de lumière
Lors de la création d’un arc en ciel, il ne s'agit pas d'une mais de nombreuses gouttes qui entrent en jeu. Ces gouttes d’eau ne se trouvent pas à la même hauteur et, en plus sont traversées par plusieurs rayons parallèles qui traversent la goutte. Le tout forme alors un cône avec comme sommet les yeux de l'observateur ( voir schéma ci-dessous).
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Ceci nous aide à comprendre l'ordre des couleurs de l'arc-en-ciel. En effet, comme nous pouvons le voir de le schéma ci-contre, les gouttes d'eau qui donnent la lumière rouge au spectateur vont se situer à l'extérieur de l'arc-en-ciel car la déviation finale D du rouge est le moins important. D'autre part, les gouttes qui contribuent à la lumière violette se situent à l'intérieur de l'arc-en-ciel car la déviation finale D du violet est plus importante. Par ailleurs, nous constatons que chaque personne voit un arc-en-ciel différent car la lumière qui arrive à ses yeux provient d'autres gouttes d'eau qui assurent un angle entre 40,19° et 42,36°.
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La forme de l'arc-en-ciel est donc due en partie à la trajectoire que la lumière prend dans la goutte et également à la position dans laquelle doivent se trouver les gouttes d'eau pour que l'observateur puisse observer ce phénomène. Cet arrangement prend la forme d'un cône qui a pour sommet l’œil de l'observateur. Celui-ci voit donc un arc-en-ciel: il regarde en fait la lumière du soleil qui a été décomposée et déviée par les gouttes d'eau en suspension.
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